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东边日出西边雨——江晓原的网易博客

 
 
 

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疯狂的恶棍与天才数学家——秦九韶与一次同余式理论  

2007-06-24 13:29:22|  分类: 科学外史专栏 |  标签: |举报 |字号 订阅

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载《新发现》杂志2007年第3期

 

疯狂的恶棍与天才数学家

——秦九韶与一次同余式理论

 

江晓原

 

 

  关于中国人对于世界科学史的贡献,经常被提起的不外四大发明之类,其实还有一些不那么著名的贡献,也确实是由中国人作出,并且得到西方学者承认的。例如“中国剩余定理”——这是西方数学史著作中对一次同余式定理的称呼。因为关于这个问题最先出现于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》中,所以又被称为“孙子定理”。

  对于这个问题,历史上的西方数学家也做过大量研究,但最重要的贡献由南宋数学家秦九韶作出。现今的数学史著作几乎都会提到秦九韶和他的数学著作《数书九章》。在今四川安岳(这里被认为是秦的故乡)还有秦九韶纪念馆,甚至还命名了一所“秦九韶中学”。但对于秦九韶究竟是何等样人,除了“伟大的数学家”之外,通常就讳莫如深了。用现代的眼光看,秦九韶可能是中国历史上少见的奇人之一。

 

  所谓“一次同余式”问题,最早可见《孙子算经》卷下第26题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问数几何?”用现代数学语言表示,就是求解一次同余式组:

  N≡R1(mod3)≡R2(mod5)≡R3(mod7)

其解可表示为:

  N=70 R1+21 R2+15R3-105P

  这里P为整数,在上述问题中,R1=R3=2,R2=3,取P=2,得到答案:N=23。

  在明朝程大位的数学著作《算法统宗》中,上述题解被写成一首在数学史上流传颇广的歌诀:

  三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知。

  不能小看这道题目(在数字很小且只有三组的情况下,凑数字也能求出其解),它背后的学问还是很大的。在欧洲,大约在公元10世纪时开始出现讨论一次同余式问题的萌芽,而世界科学史上一连串辉煌的名字都曾和这个问题联系在一起:例如阿尔哈桑(Ibnal Haithan)、斐波那契(Fibonacci)、欧拉(L. Euler)、拉格朗日(J.Lagrange)、高斯(Gauss)……。后来来华的传教士伟烈亚力(AlexanderWylie)将《孙子算经》卷下第26题介绍到了欧洲,1874年L.Methiesen发表文章,指出《孙子算经》中的解法与高斯定理相合,于是西方人将其定名为“中国剩余定理”。

 

  古代中国人注重实用,这个一次同余式问题也不是只拿来做数字游戏的。说大一点,它和中国古代的政治大有关系。中国古代将天文历法看作极其神圣的事物,在早期这曾经是王权确立的必要条件之一,后来则长期成为王权的象征。而在中国历法史上,曾有很长时期追求一个理想的时间起算点——这个起算点要从制定某部历法的当年向前逆推,被称为“上元积年”。在这个起算时刻,日、月、五大行星都恰好位于它们各自周期的起点,同时这个时刻又恰好是节气中的冬至,而这个时刻所在的这一天的纪日干支又要恰好是“甲子”,如此等等。要满足这么多的条件,就需要求解一个多达9项的一次同余式组,在没有计算机的时代,求解的计算工作量将达到骇人的地步。数学史家相信,在《孙子算经》中上述趣题出现之前,中国历法中已经使用一次同余式组来求解上元积年了。而南朝祖冲之《大明历》中的上元积年,就被认为是解算9项一次同余式组而获得的。唐代一行《大衍历》中的上元积年年数竟达96,961,740年,也被认为是求解一次同余式组而获得的。但是祖冲之和一行等人究竟是如何解算的,却一直没有人能够知道。

  在这个问题上最重要的理论贡献,就是由秦九韶(公元1202~1261)做出的。他在《数书九章》中给出了“大衍求一术”——即一次同余式问题的系统解法(用他的方法确实可以求出《大衍历》中的上元积年,尽管这还不足以证明一行就是用的这种方法)。这被认为是中国古代数学中的一项伟大成就,在世界数学史上也可以占据一席之地。

 

  关于秦九韶究竟是何等样人,其实宋人文献中留下了相当丰富的记载,主要可见于周密(人名)的《癸辛杂识续集》卷下和著名词人刘克庄文集中的“缴秦九韶知临江军奏状”。秦九韶18岁就统帅私人武装,为人“豪宕不羁”,如果将他和意大利文艺复兴时期的那些风云人物相比,竟有几分相似:他多才多艺,懂得星占、数学、音乐、建筑,还擅长诗文,会骑术、剑术、踢球等等。同时又利欲熏心,骄奢淫逸,热衷于做官,一心往上爬。秦九韶做过几任地方官,最后死在梅州任上。他最高做到大约相当于今天局级的官职。

  秦九韶行为乖戾,出人意表,被他的同时代人认为是“不孝、不义、不仁、不廉”,平日横行乡里,恶霸一方,所以多次被褫去官职或取消任命。例如,在他担任地方长官的父亲宴客时,他带着妓女出席。又如,他竟能将他上司的田产“以术攫取之”,在其中建造他的超豪华庄园(他亲自设计那些奇特的房屋)。再如,他命令手下杀死自己的儿子,而且亲自设计了毒死、用剑自裁、溺死三种方案;当得知这名手下偷偷放了他儿子时,他竟巨额悬赏,满世界追杀儿子和这名手下。有一年夏天,秦九韶和一个他所宠爱的姬妾月夜在庭院中交欢,不意被一个汲水的仆役撞见,他认为那仆役有意窥探他的隐私,就诬告该仆役偷盗,将其送官,要求判仆役黥面流放。地方官认为该仆役罪不至此,没有按照秦九韶的要求判决,秦九韶为此怀恨地方官,竟企图将他毒死。当时的记载说秦九韶“多蓄毒药,如所不喜者,必遭其毒手”。

  这就是被刘克庄称为“暴如虎狼,毒如蛇蝎,非复人类”的秦九韶。毫无疑问,他是一个疯狂的恶棍,但与此同时,他确实也是一个天才的数学家。我们甚至可以推想,如果他有时间或精力写下音乐或建筑方面的著作,也可能又有某项历史性的贡献。可惜他的绝大部分时间和精力,看来都耗费在放纵物欲上了。

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